Fecha de Recibido: Enero 24 del 2018
Fecha de Aceptación: Marzo 13 de 2018
Fecha de Publicación: Abril 01 de 2018
DOI: http://dx.doi.org/10.22335/rlct.v10i2.552
* Artículo resultado de investigación Análisis económico de la implementación de algunas estrategias de control para la malaria rural y urbana en Tumaco (Colombia)
**Doctora en Matemáticas, Magíster en Biomatemáticas, Filiación: Universidad de Investigación de Tecnología Experimental Yachay Tech de Ecuador. Correo electrónico: jromero@yachaytech.edu.ec. Orcid ID: https://orcid.org/0000-0002-1834-3461
** Doctor en Ciencias Matemáticas, Magíster en Matemáticas, Filiación: Universidad de Nariño de Colombia. Correo electrónico: edbargun@udenar.edu.co Orcid ID: https://orcid.org/0000-0001-6308-1344
Resumen
En este trabajo, se presentan los resultados del análisis de un problema de control óptimo para la transmisión de la enfermedad de malaria en las poblaciones de humanos y mosquitos en el municipio Tumaco (Nariño), se consideró transmisión vectorial y vertical (madre-hijo) de la enfermedad. Para la población humana el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es de tipo SEIR (Susceptible - Expuesto- Infectado -Recuperado), mientras que para la población de mosquitos es de tipo SI (Susceptible-Infectado), con población total variable. Las variables de control consideradas fueron: fumigación de interiores, uso de toldillos, tratamiento profiláctico durante el embarazo y tratamiento antimalárico; todas sujetas a una función de costo a minimizar. Estas variables de control fueron escogidas a partir de las propuestas realizadas por la Organización Mundial de la Salud (OMS) en cooperación con el Fondo de las Naciones Unidas para la Infancia (UNICEF), el Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo (UNDP) y el Banco Mundial en 1998, a través del lanzamiento de la asociación para hacer retroceder el paludismo the Roll Back Malaria Global Partnership. Con las variables control se implementaron dos estrategias distintas: en la primera se suministró tratamiento profiláctico durante el embarazo así como tratamiento antimalárico, en la segunda aplicó las cuatro variables de control de manera simultánea. Las simulaciones numéricas del problema de control óptimo fueron realizadas usando datos la literatura consultada y del Sistema Nacional de vigilancia en Salud Pública (SIVIGILA) en el pacífico nariñense, durante el periodo comprendido entre finales del año 2000 y todo el año 2001, periodo en el cual se registró un crecimiento acelerado de casos de malaria en este municipio. Los resultados sugieren que para zonas rurales de Tumaco la estrategia más efectiva y menos costosa para controlar la malaria es la implementación de las cuatro variables de control simultáneamente; mientras que para zonas urbanas de Tumaco el suministro de los tratamientos profilácticos en el embarazo y antimaláricos es la mejor opción.
Palabras clave: Malaria, Tumaco, Problema de Control Óptimo, Análisis Económico.
Abstract
In this paper, we present the results of the analysis of an optimal control problem to malaria transmission in human and mosquito populations in Tumaco (Nariño), considering vector and vertical transmission (pregnant-fetus). For human population the model is type SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered) and for mosquito population is type SI (Susceptible-Infected). The control variables considered are: indoor fumigation, use of mosquito nets, prophylactic treatment during pregnancy and antimalarial treatment. These control variables were chosen from the proposals made by the World Health Organization (WHO) in cooperation with the United Nations Children's Fund (UNICEF), the United Nations Development Program (UNDP) and the World Bank in 1998, through the Roll Back Malaria Global Partnership. With the control variables, two different control strategies are implemented: in the first, prophylactic treatment is provided during pregnancy as well as antimalarial treatment; in the second, the four control variables are applied simultaneously.
The numerical simulations of the optimal control problem were carried out using data from literature consulted and from the National Public Health Surveillance System (SIVIGILA) in the pacific region of Nariño, during 2000-2001, period which registered an accelerated growth of cases of malaria in this municipality. The results suggest that to rural areas of Tumaco the most effective and least expensive strategy to control malaria is the implementation of the four variables of control simultaneously; while to urban zone of Tumaco the supply of prophylactic treatments in pregnancy and antimalarial are the best option.
Keywords: Malaria, Tumaco, Optimal Control Problem, Economic Analysis.
Resumo
Neste artigo, apresentamos os resultados da análise de um problema de controle ótimo para a transmissão da doença da malária em populações humanas e mosquitos no município de Tumaco (Nariño-Colômbia), considerando a transmissão vetorial e vertical (mãe-filho) da doença. Para a população humana, o sistema de equações diferenciais ordinárias é do tipo SEIR (Susceptíveis - Expostos - Infectados - Recuperados), enquanto que para a população de mosquitos é de tipo SI (Susceptíveis-Infectados), com população total variável. As variáveis de controle consideradas são: fumigação interna, uso de mosquiteiros, tratamento profilático durante a gravidez e tratamento animal; todos sujeitos a uma função de custo a serem minimizados. Essas variáveis de controle foram escolhidas a partir das propostas feitas pela Organização Mundial da Saúde (OMS) em cooperação com o Fundo das Nações Unidas para a Infância (UNICEF), o Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD) e o Banco Mundial em 1998, através do lançamento da parceria Roll Back Malaria para Roll Back Malaria. Com as variáveis de controle, duas estratégias de controle diferentes são implementadas: no primeiro, o tratamento profilático é fornecido durante a gravidez, bem como tratamento antimalárico, no segundo lugar, as quatro variáveis de controle são aplicadas simultaneamente.
As simulações numéricas do problema de controle ótimo foram realizadas utilizando dados da literatura consultada e do Sistema Nacional de Vigilância em Saúde Pública (SIVIGILA) na área do Pacífico de Nariño, durante o período entre finais do ano 2000 e o ano de 2001, período em que houve um crescimento acelerado dos casos de malária neste município. Os resultados sugerem que, na área rural de Tumaco, a estratégia mais efetiva e menos dispendiosa para controlar a malária é a implementação das quatro variáveis de controle de forma simultaneamente; enquanto na área urbana de Tumaco a provisão de tratamentos profiláticos na gravidez e antimaláricos é a melhor opção.
Palavras-chave: Malária, Tumaco, Problema de Controle Ótimo, Análise Econômica.
Introducción
La malaria es una enfermedad con un índice elevado de mortalidad que se extiende en regiones tropicales y subtropicales, incluyendo África, Asia, América Latina, Medio Oriente y algunas partes de Europa (Rollback, 2003). En Colombia, esta enfermedad se presenta en 22 de sus 33 departamentos (Padilla & Piñeros, 2001), área que corresponde, en términos generales a una altura entre 1500 y 1800 metros sobre el nivel del mar (Carmona-Fonseca, 2009), convirtiéndose de esta manera en un problema de salud pública de gran relevancia debido a que el 85% del territorio colombiano está ubicado a menos de 1600 metros sobre el nivel del mar, con una población aproximada de 18 a 24 millones de personas susceptibles a contraer la enfermedad o morir a causa de ella.
El municipio de Tumaco, ubicado en la costa pacífica nariñense de Colombia, hace parte de la llanura aluvial del pacífico, caracterizada por su planicie, de terrenos bajos y amplios valles cenagosos, cubierta parcialmente de selva y atravesada por numerosos ríos que en su mayoría desembocan al mar, puerto y a la vez frontera con el Ecuador. Sus condiciones climáticas con alta humedad y pluviosidad, hacen de esta zona un lugar perfecto para la transmisión de la malaria. Tumaco presenta por año un registro de morbi-mortalidad por malaria muy alto (Molineros-Gallón, Calvache-López, Bolaños, Castillo, & Torres, 2014). Por otro lado, es potencialmente vulnerable a enfermedades transmitidas por vectores debido a su alta tasa de inmigración, densidad poblacional y criaderos artificiales, a sus condiciones eco climatológicas, una deficiente planeación urbana que ha originado asentamientos irregulares en zonas de difícil acceso que no garantizan los servicios mínimos de drenaje, agua potable y recolección de basura, y la presencia de especies de mosquitos reportados como vectores competentes. Por lo tanto, existe la necesidad de determinar factores importantes en la dinámica de transmisión de la malaria y con ello establecer la identificación de zonas potenciales de riesgo que conlleven a establecer estrategias para el monitoreo, manejo y control del mosquito. Una característica adicional e importante de esta enfermedad es que durante el embarazo se pueden presentar diferentes tipos de malaria, tales como malaria gestacional, malaria congénita y malaria placentaria, causadas mayormente por la presencia de Plasmodium falcíparum (Carmona-Fonseca, 2009). Estos tipos de malaria representan un grave problema de salud pública que ha pasado inadvertido, lo cual redunda en pocos trabajos de investigación enfocados a resolver el problema (Carmona-Fonseca, 2009). Particularmente, en Tumaco, municipio en el cual la mayor incidencia de malaria se debe a Plasmodium falcíparum (Molineros-Gallón, Calvache-López, Bolaños, Castillo, & Torres, 2014), la malaria congénita ha sido la causante de estados patológicos agravantes, tales como, la anemia y la desnutrición en el neonato.
Esta enfermedad es de obligatorio reporte semanal por parte de los municipios al Instituto Nacional de Salud (INS) (Molina, 2008), que diseña y ejecuta diferentes programas y estrategias para controlarla. Por lo general, la enfermedad es tratada con drogas antimaláricas o prevenida mediante estrategias de control vectorial (fumigaciones y eliminación de criaderos) o evitando la picadura del mosquito con el uso de toldillos y sustancias repelentes (Pattanayak, y otros, 2006). Lo más frecuente es la combinación de distintas estrategias de tratamiento y prevención. En Colombia se han planteado estrategias de impacto importantes en el control de la malaria, siendo necesario buscar soluciones al problema de atención en salud en poblaciones vulnerables. Los cambios en el sistema de salud no han logrado fortalecer la capacidad a nivel local. El impacto negativo sobre los aspectos técnicos, como el uso inadecuado de rociamiento de acción residual, genera altos costos operativos en salud en zonas urbanas con alta densidad poblacional (Rodríguez, Uribe, Araújo, Narváez, & Valencia, 2011).
Los estudios epidemiológicos abordan el problema de la transmisión de la malaria desde distintos enfoques, pero todos ellos tienen en común la intención de definir las características epidemiológicas de dicha enfermedad, y contribuir de esta manera, a la creación y aplicación de programas de salud adecuados que permitan su control y posible erradicación (Molineros-Gallón, Calvache-López, Bolaños, Castillo, & Torres, 2014). En particular, el modelado matemático, constituye una herramienta que contribuye al entendimiento de los factores que hacen posible la propagación de una enfermedad en una comunidad. A través de los modelos matemáticos se puede predecir el comportamiento a largo plazo de una enfermedad, evaluar la efectividad de programas de control y optimizar los recursos invertidos para este fin.
Teniendo en cuenta las razones anteriormente descritas, en el presente artículo se presentan los resultados del análisis de un problema de control óptimo para la transmisión de la malaria en las poblaciones de humanos y mosquitos, considerando no solamente transmisión vectorial, sino que también transmisión vertical (madre-hijo). Cabe resaltar que el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias usado en la formulación del problema de control, haciendo ligeras modificaciones, pueden aplicarse a cualquier región, e inclusive a otras enfermedades trasmitidas por vectores, tales como el Dengue, Zika, Chikungunya, entre otras.
De las variables de control propuestas en (Rollback, 2003), se incorporan durante un tiempo aproximado de cuatro meses (120 días) cuatro de ellas: fumigación de interiores, uso de toldillos, tratamiento antimalárico y tratamiento profiláctico en el embarazo, con las cuales se plantearon dos estrategias de control distintas: estrategia I) suministro de tratamientos profiláctico durante el embarazo y antimalárico; estrategia II) suministro de las cuatro variables de control simultáneamente. Con los resultados de los análisis del problema de control óptimo y costo-efectividad logra concluirse desde un punto de vista teórico que en zonas urbanas del municipio de Tumaco (llamadas más adelante zonas de transmisión baja) basta con implementar simultáneamente tratamiento profiláctico en el embarazo y tratamiento antimalárico para controlar la enfermedad de malaria de la forma más efectiva; mientras que para zonas rurales de Tumaco (llamadas más adelante zonas de transmisión alta) la mejor estrategia de control es la implementación simultánea de las cuatro variables de control.
Materiales y Métodos
El primer objetivo fue minimizar el
índice de rendimiento o función de costo por el uso de las cuatro variables de
control descritas anteriormente. Las hipótesis sobre las cuales se formula el
modelo matemático son las siguientes: para la población humana el modelo
matemático es tipo SEIR; mientras que para la población de mosquitos el modelo
es tipo SI. Por otro lado, la población de humanos susceptibles pasa a ser
expuesta por contacto con mosquitos infectados a una tasa 
, donde 
es la variable de control por uso de
toldillos, la cual asume valores entre 0 y 1, donde = 0 es asumido si el uso de toldillos
es no eficaz y = 1 si el uso de toldillos es completamente
eficaz, es decir, no hay infección.
De otra parte, se asumió que los
individuos infectados se recuperan a una tasa 
donde 
es la tasa de
recuperación espontánea, 
la variable de control por
tratamiento antimalárico y 
está en el intervalo [0, 1] y
representa la eficacia del tratamiento. Por otro lado, la tasa de individuos
que nacen con infección viene dada por 
, donde 
es la tasa de
transmisión vertical, 
está en el intervalo [0, 1] y representa
el control por tratamiento profiláctico en el embarazo, donde 
es asumido si el tratamiento durante
el embarazo es no eficaz, y 
si el tratamiento es completamente
eficaz, es decir no hay transmisión vertical. Para el modelo SI se tiene que
la población de mosquitos se ve disminuida por el uso de insecticidas,
representada por el término 
, donde 
está en el intervalo [0,1] y representa
la eficacia del insecticida y 
la variable de control por fumigación
de interiores.
En este sentido, se tiene que la
variable de control 
proporciona información acerca de la
cantidad de toldillos que deben ser suministrados, 
y 
la cantidad de medicamento
antimalárico y profiláctico en mujeres embarazadas que debe ser suministrado
respectivamente, mientras que 
da información acerca de la cantidad
de insecticida que debe ser aplicado a la población de Tumaco en el tiempo 
.
Con las anteriores consideraciones se formuló el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
,
(1)
junto con el índice de rendimiento o función de costo
(2)
y condiciones de frontera
En el problema de control, se asume un
tiempo inicial 
, un tiempo final 
fijo, el cual
representa el tiempo de implementación de las estrategias de control y será de
120 días (4 meses aproximadamente), y se asumen variables dinámicas 
libres en ese tiempo final, mientras
que las coordenadas de la condición inicial 
son las coordenadas de un equilibrio
endémico para el sistema.
Resultados
Usando el Principio del Máximo de Pontryaguin (Pontryaguin, 1987) y un procedimiento análogo al usado por (Romero, Montoya, & Ibargüen, 2018) se calcula el Hamiltoniano asociado al problema de control, las ecuaciones adjuntas, y se prueba la existencia de los controles óptimos, los cuales vienen dados por funciones integrables a trazos cuyos rangos están en el intervalo cerrado [0, 1]. Para las simulaciones numéricas se usa el método del barrido hacia adelante y hacia atrás (Lenhart & Workman, 2007).
Una interpretación de todos los parámetros del modelo (1) y sus valores asumidos tanto en zonas rurales como en urbanas de Tumaco (Tabla 1), y el diagrama compartimental del sistema de ecuaciones diferenciales (Figura 1).
El tiempo de implementación de las estrategias de control será aproximadamente de 4 meses, esto es T = 120 días, y además, el costo máximo alcanzado por la implementación de cada estrategia estará medido en unidades de costo. Las estrategias de control a considerar son las siguientes:
1. Estrategia I: Combinación de tratamiento profiláctico en el embarazo y tratamiento antimalárico.
2. Estrategia II: Combinación de toldillos, fumigación de interiores, tratamiento profiláctico en el embarazo y tratamiento antimalárico.
Tabla 1
Descripción y Valores de los parámetros asociados al modelo (1).
|
Valor zonas urbanas |
Valor zonas rurales |
Referencia |
|
0.10 |
0.10 |
(Montoya, Romero, & Ibargüen, 2018) |
|
0.0025 |
0.0039 |
|
|
0.00125 |
0.0010 |
(Romero, Montoya, Ibargüen, & Villarroel, 2017) |
|
0.009 |
0.0090 |
|
|
0.0029 |
0.0029 |
|
|
0.40 |
0.70 |
|
|
0.32 |
0.20 |
|
|
0.29 |
0.45 |
(Romero, Montoya, & Ibargüen, 2018) |
|
0.0002 |
0.0091 |
|
|
160 |
180 |
(Romero, Montoya, Ibargüen, & Villarroel, 2017) |
|
90 |
110 |
|
|
0.001 |
0.001 |
|
|
Parámetro |
Descripción (unidad de medida en días) |
|
|
Tasa
de progresión de expuesto a infectado ( |
|
|
Tasa de muerte natural del mosquito ( |
|
|
Tasa de muerte natural del humano ( |
|
|
Tasa de muerte por infección ( |
|
|
Tasa de recuperación espontánea ( |
|
|
Probabilidad de infección de humano por picadura |
|
|
Probabilidad de infección del mosquito por picadura |
|
|
Tasa de picadura del mosquito |
|
|
Tasa de transmisión vertical ( |
|
|
Tasa de reclutamiento de mosquitos ( |
|
|
Tasa de reclutamiento de humanos ( |
|
|
Tasa de pérdida de inmunidad ( |
Fuente: Autores
Figura 1: Diagrama compartimental asociado al sistema (1).
Dada la dificultad técnica presentada
con la recopilación de datos para los pesos relativos asociados a los controles
y los costos sociales se usarán los valores propuestos por (Prosper, Ruktanonchai, & Martcheva, 2014) y (Romero, Montoya, & Ibargüen, 2018), esto es,
d1 = d2 = d3 = d4 = 0.01 para los pesos relativos asociados a los controles,
c1 =10-5 y c2 = c3 =10-4 para los costos sociales. Para
la eficacia del insecticida y tratamiento antimalárico se asumirá que 
=0.6; respectivamente.
Estrategia I: Combinación de tratamiento profiláctico en el embarazo y tratamiento antimalárico
Los controles y representan tratamiento antimalárico y
tratamiento profiláctico en el embarazo, respectivamente. Para zonas de
transmisión alta, en Figuras 2(a) y 2(b), se observa un decrecimiento de
poblaciones de mosquitos y humanos infectados con el uso de controles, mientras
que sin ellos, ambas poblaciones crecen. Con el uso de los controles la
población de humanos expuestos aumenta 50% más que sin el uso de los controles
(Figura 2 (c)).
El control por tratamiento profiláctico (Figura 3(d)) alcanza una cota superior de 100% durante 110 de los 120 días de implementación, y después decrece a 0, mientras que el control de tratamiento profiláctico se mantuvo en la cota superior de 100% durante los 120 días de implementación.
