Fecha de recepción del artículo: 25 de Agosto de 2017

Fecha de aceptación del artículo: 21 de Diciembre de 2017

DOI: http://dx.doi.org/10.22335/rlct.v10i1.448

*El artículo es inscribe como resultado del trabajo de investigación titulado “concepciones de los profesores del programa de licenciatura en matemáticas de la universidad del Quindío sobre la resolución de problemas en cálculo diferencial e integral: un estudio etnográfico”.

** Licenciado en Matemáticas. Filiación: Universidad del Quindío. Correo electrónico: leyton3991@gmail.com. Orcid: https://orcid.org/0000-0001-7335-2339

***Doctor en educación Matemática. Filiación: Universidad del Quindío. Correo electrónico: eliecerab@uniquindio.edu.co. Orcid: https://orcid.org/0000-0003-1691-2699

**** MSc en Ciencias de la educación. Filiación: Universidad del Quindío. Correo electrónico: jderazo@uniquindio.edu.co Orcid: https://orcid.org/0000-0002-0036-4264

Universidad Javeriana Cali. Correo electrónico: gportillaw@gmail.com Orcid: https://orcid.org/0000-0002-3243-7659

Resumen

Este estudio tiene como finalidad analizar las Creencias y Concepciones de Profesores sobre la Resolución de Problemas (RP) para la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo diferencial e integral, en la formación de profesores de matemáticas. Las creencias y concepciones de profesores universitarios de matemáticas, se analizan como organizadores que incluyen imágenes mentales materializadas en el desarrollo de sus clases y las percepciones sobre su práctica educativa. El enfoque es cualitativo interpretativo y el método utilizado la etnografía, mediante un estudio de caso. Los resultados permiten concluir que las concepciones que tienen los profesores sobre RP obedece a un modelo de enseñanza.

Palabras clave: creencia, concepción, resolución de problemas, cálculo.

Abstract

This study aims to analyze the beliefs and conceptions of teachers about the problem resolution (PR) for teaching and learning of differential and integral calculus in the training of mathematics teachers. The beliefs are conceptions of university mathematics teachers are organizers that include mental images materialized in the development of their classes and perceptions about their educational practice. The approach is qualitative interpretive and the method used by ethnography, through a case study. The results allow us to conclude that the teachers' conceptions of PR are due to a teaching model.

Key words: Belief, Conception, Problem Resolution, Calculus.

Resumo

O objetivo deste estudo é analisar as Crenças e as Concepções de Professores sobre Resolução de Problemas (RP) para o ensino e aprendizagem de cálculo diferencial e integral, na formação de professores de matemática. Para isso, referem-se que afirmam que as crenças e concepções de professores universitários de matemática são organizadores que incluem imagens mentais materializadas no desenvolvimento de suas aulas e as percepções sobre sua prática educacional. A abordagem é qualitativa interpretativa, e o método utilizado na etnografia, através de um estudo de caso. Os resultados permitem concluir que as concepções que os professores têm sobre RP obedecem a um modelo de ensino.

Palavras-chave: Crença, Concepção, Solução de problemas, Cálculo.

Introducción

La educación matemática pone a disposición estudiar desde las nociones más básicas hasta las matemáticas que se enseñan y se aprenden en la educación superior, a partir de sus rasgos epistémicos, didácticos, cognitivos, todos ellos tendientes a la preparación de un ciudadano competente para resolver los problemas que emergen de sus prácticas profesionales. Muchos planes de estudio a nivel de la educación superior, plantean la resolución de problemas (RP) como eje articulador transversal y como estrategia para el aprendizaje de los ejes conceptuales que contempla el proyecto curricular del programa (PEP, 2010).

En este sentido, los profesores en su proceso de planificación y diseño de clase, realizan procesos de transposición didáctica (Chevallard, 1991) que implica la preparación del profesor de un corpus del conocimiento y que pone en juego del saber matemático (surge de la investigación) al saber enseñando (la práctica en el aula) de elementos matemáticos que configuran el cálculo. Esta transposición didáctica emerge de saberes institucionales y personales (Godino, Batanero, Rivas, y Arteaga, 2013) que cada profesor asocia a una creencia o concepción de como utiliza la RP como contenido, aplicación después de terminar un tema o unidad didáctica, o como estrategia de enseñanza aprendizaje, y como proceso ligado al uso sentido y significado de los objetos matemáticos del conocimiento desde posturas sociales y culturales que ponen los saberes matemáticos en la dinámica de las actividades humanas. En este sentido, la RP como estrategia para la enseñanza de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial (CD) y cálculo integral (CI), está asociada a creencias o intuiciones y a concepciones o saber personal de los profesores, vinculadas a prácticas institucionales, personales, epistemológicas, didácticas, instruccionales y cognitivas, desligadas de contextos reales, lo que hace necesario ser objeto de estudio (Serrano, 2010).

De acuerdo con el encuadre epistemológico entre la experiencia personal y búsqueda de literatura en posturas, políticas nacionales de calidad para la educación superior y las buenas prácticas de docencia e investigación, se aseveró la necesidad de analizar desde una postura investigativa el planteamiento ¿Cuáles son las creencias y las concepciones que tienen los profesores universitarios sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza y aprendizaje de los conceptos fundamentales del Cálculo diferencial e integral?

Aspectos conceptuales

Las creencias están asociadas a rasgos de tipo subjetivo de las personas, en este caso particular de los profesores de matemáticas, ligadas a los sentimientos y un poco guiadas por las emociones relacionadas con aspectos propios de la personalidad; las creencias obedecen a acciones más de tipo empírico sobre percepciones del hacer del profesor sobre su práctica pedagógica. Por su parte, (Pajares, 1992) citado en Gil Cuadra y Rico (2003), considera que las creencias son “verdades personales indiscutibles, sustentadas por cada uno, derivadas de la experiencia o de la fantasía, que tiene un fuerte componente evaluativo y afectivo. Las creencias se manifiestan a través de declaraciones verbales o de acciones (justificándolas) (Martínez, Vergel, Zafra, 2015).

Asimismo Thompson (1992), plantea que los docentes difieren ampliamente en sus creencias sobre la naturaleza y el sentido de las matemáticas, dando al investigador una idea muy amplia de lo que pueden ser las finalidades más relevantes que puede considerar el profesor a la hora de plantear y llevar a cabo su cronograma de actividades, su percepción frente al papel que se juega cada día en su práctica profesional, cómo se desenvuelve en ella, y el lugar que ocupan sus estudiantes en relación al entorno matemático. Igualmente se asocian factores importantes a las creencias como el elemento cognitivo derivado del grado de razonamiento que el profesor da a sus ideas, un componente afectivo basado en sus experiencias o circunstancias enfrentadas, y finalmente, elementos conductuales que relacionan su círculo social y laboral ante sus posiciones en torno a la enseñanza (Pajares, 1992).

Por otra parte para García et al. (2006) las creencias por parte del profesor: Son ideas poco elaboradas, generales o específicas, las cuales forman parte del conocimiento que posee el docente pero carecen de rigor para mantenerlas- e influyen de manera directa en su desempeño. Las creencias sirven como filtro para todo aquello que supone el proceso enseñanza-aprendizaje. (García et al., 2006).

Las concepciones: incluyen las creencias y en este caso se podría estar hablando de concepciones de tipo subjetivo, estas obedecen más a procesos mentales construidos y establecidos que pueden ser además epistemológicos porque obedecen a un conocimiento sobre el programa o la naturaleza de la enseñanza de las matemáticas. Al respecto, las concepciones para algunos autores son “organizadores implícitos de los conceptos, de naturaleza esencialmente cognitiva y que incluyen creencias, significados, conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, preferencias, entre otras, que influyen en lo que se percibe y en los procesos de razonamiento que se realizan” (Moreno y Azcárate, 2003, p. 267).

En su estudio Flores (1998) relaciona el término “concepciones” en torno a las matemáticas de la siguiente manera; la forma como se concibe el conocimiento y su relevancia personal (concepciones sobre las matemáticas), método de aprendizaje y enseñanza (concepciones sobre el estudio y preparación en matemáticas), aplicabilidad cotidiana (concepciones sobre la adaptabilidad a las situaciones en contexto), y finalmente su propia preparación para profesor (concepciones sobre la didáctica de las matemáticas). En este sentido, todos los constructos que implícitamente la palabra concepción refiere:

"Una concepción del profesor sobre la naturaleza de las matemáticas puede verse como creencia, concepto, significado, regla, imagen mental y preferencia, consciente o inconsciente del profesor en relación a las matemáticas. Éstas creencias, conceptos, puntos de vista y preferencias, constituyen los rudimentos de una filosofía de las matemáticas" (Thompson, 1992; p. 132)

Para Porlán (1992) la palabra concepción ligada al pensamiento del profesor y la formación de profesores, constituye un sistema para la toma de decisiones acerca de su praxis, que interviene desde los saberes disciplinares y saberes derivados de la experiencia y junto a teorías y estrategias aplicadas en las prácticas profesionales conforman la identidad del docente. Las concepciones se presentan como un condensado de posturas que un profesor antepone para realizar su intervención en el aula, es así como estas actitudes referentes a la enseñanza y aprendizaje conforman la estructura sus estrategias como docente (Contreras y Carrillo, 1995).

Relación entre creencias y concepciones: Entre las creencias y las concepciones existe una relación que podría llamarse de inclusión, al respecto Llinares (1991) reconoce que entre conocimiento, creencias y concepciones existen diferencias sutiles. Las creencias son el "contexto psicológico" en el que se produce el aprendizaje en los cursos de formación; las concepciones constituyen sistemas cognitivos interrelacionados de creencias y conocimientos que influyen en lo que se percibe y en los procesos de razonamiento que se realizan. Los profesores durante sus prácticas generan ideas de cómo desarrollar los contenidos de la enseñanza, pero sobre todo cómo enseñar a resolver problemas matemáticos, para ello, utilizan sus ideas producto de la experiencia, pero sin dejar de lado sus creencias y las concepciones matemáticas. A partir de estas concepciones el profesor hace la transposición didáctica y utiliza la resolución de problemas desde diferentes enfoques como: metodología, estrategia, contenido o aplicación después de concluir la enseñanza de un objeto matemático.

Las concepciones y creencias, de acuerdo con Ponte (1994) conciben parte del conocimiento, y en este sentido, las creencias son certezas descendientes de vivencias o inventiva propia, muy a diferencia de las concepciones, siendo estas la moldura organizacional de conceptos involucrados en procesos de cognición que intervienen al momento de realizar una actividad de cualquier naturaleza.

La resolución de problemas (RP). La educación matemática ha tenido como fin primordial que los estudiantes aprendan las matemáticas a partir de la resolución de problemas, las reformas educativas a través de los estándares por competencias ponen como telón de fondo la resolución de problemas para que un estudiante logre ser matemáticamente competente. Efectivamente, gran parte de las investigaciones en educación matemática llevadas a cabo en diferentes partes del mundo, tienen que ver con la resolución de problemas como estrategia para el aprendizaje de las matemáticas.

En este sentido, según Stanic y Kilpatrick (1989), afirman que los problemas han ocupado un lugar central en el currículo matemático escolar desde la antigüedad, pero la resolución de problemas, no. Quienes enseñan matemáticas han aceptado la idea que el desarrollo de la habilidad para resolver problemas merece una atención. Junto con este énfasis en la resolución de problemas, sobrevino la confusión. El término “resolución de problemas” se ha convertido en slogan que acompañó concepciones sobre qué es la educación, qué es la escuela, qué es la matemática y por qué debemos enseñar matemáticas en general y resolución de problemas. La resolución de problemas ha adoptado diferentes significados:

Resolver problemas como contexto para: enseñar matemática, crear motivación por algunos temas, recrear, desarrollar habilidades, y práctica. Resolver problemas como habilidad: rutinarios (habilidades básicas), no rutinarios (de nivel superior), y técnicas de resolución como contenido para aplicar lo aprendido. Resolver problemas es “hacer matemática”: creer que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática consiste en problemas y soluciones (Pólya, 1954).

Las concepciones que poseen los profesores para la RP, la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, pueden estar ligadas a los mismos significados. Así mismo, estas concepciones pueden jugar un papel fundamental a la hora de cómo se tiene interiorizados los conceptos de ejercicio, problema en matemáticas, y situaciones problema. En síntesis, la matriz representa un paralelo entre lo que diferentes autores comprenden sobre “ejercicio”, “problema” y “situación problema”

Tabla 1. Paralelo entre “Ejercicio”, “Problema” y “Situación problema”

Ejercicio

Problema

Situación problema

Actividad de enunciado claro y concreto que evoca sistemática y mecánicamente el empleo de un algoritmo o concepto.

Herramienta que procura resolver, evocar o rememorar un objeto matemático en específico, definición o teorema (Blanco, 1993)

Posee la característica de ser solucionado por una serie de pasos memorísticos dados (algoritmos), y que en repetidas ocasiones convergen a procesos netamente numéricos.

En su práctica la posibilidad de desarrollar habilidades de razonamiento y competencias para la resolución de problemas son muy limitadas. Schoenfeld (citado en Blanco, 1993)

Son utilizados inmediatamente de la exposición del teorema, definición, u objeto matemático. Esto da la seguridad al estudiante sobre la herramienta que debe utilizar.

Situaciones formuladas en contexto cuya resolución requiere una traducción del enunciado, oral o escrito, a expresión matemática (Blanco,1993), ejecutar un plan y examinar resultados.

Situación en la que el estudiante propende realizar un proceso para llegar a una meta, pero no conoce la maniobra que debe realizar para lograrla)

Vínculo entre el individuo y la tarea; se emplea la palabra problema para describir una tarea que resulta compleja para el individuo que está tratando de resolverla (Schoenfeld , 1985)

Su consecución depende en gran medida de los conocimientos previos y el grado de compromiso del individuo que lo afronta” (López y Contreras, 2014. p. 426) para lo cual se hacen necesarias estrategias heurísticas y meta-cognitivas

Circunstancia que evoca un grado de inseguridad y que ocasiona tácticas orientadas en el seguimiento de una solución. (Pino, 2012)

“problemas sobre situaciones reales” que representen para el estudiante un contexto verdadero y significativo en su cotidianidad. El escenario resulta relevante para la comprensión y la resolución matemática del problema.

Actividades lo más cercanas posibles a situaciones reales que requieran el uso de habilidades, conceptos y procesos matemáticos haciendo necesaria para su solución investigar otros datos relevantes asociados.

“La solución de este tipo de problemas conlleva a la construcción de un modelo matemático. El punto de partida en la construcción de un modelo matemático es un problema real” (Benítez y Londoño, 2009)

Sitúan a los estudiantes en la esencia de los modelos, instrumentos y operaciones base de las matemáticas, plasmadas a situaciones concretas del contexto estudiantil y cotidiano

Se hace necesario de un suceso, el entorno del problema que aporta datos relevantes, actores participantes, incógnitas, y finalmente un interrogante que precisa de una decisión o rumbo.

Fuente: Autores

Concepciones de los profesores sobre la resolución de problemas

Los profesores universitarios en su proceso de transposición didáctica generalmente apoyan su práctica pedagógica de manera experimental en modelos de RP que de alguna manera responden a lo planteado por Pólya sobre“cómo plantear y resolver problemas”, allí plantea las célebres cuatro fases para enfrentar un problema. A base de este principio o esquema, diferentes autores plantearon sus propias teorías añadiendo algunas etapas al proceso y en otros casos procurando depurar y perfeccionar las ya planteadas.

En este sentido es preciso citar a Mason, Burton y Stacey, Bransford y Stein, Shoenfield y Miguel de Guzmán. Investigadores como Barrantes (2008) apoyado en Bay (2000) afirman que la resolución de problemas es usada por los profesores en el aula de clase en torno a tres posturas; enseñar para resolver problemas, enseñar acerca de la resolución de problemas y enseñar mediante la resolución de problemas. De acuerdo a la primera postura el objetivo es exponer y describir conceptualmente un objeto matemático que viene seguido de un sin número de ejercicios para posteriormente plantear situaciones que describan lo estudiado.

La segunda postura se centra en lo que tiene que ver con la adquisición de una habilidad mediante estrategias o heurísticas que faciliten la resolución de problemas mediante el uso de herramientas matemáticas. Y finalmente la resolución de problemas como vehículo para el aprendizaje, que consiste en enseñar los contenidos matemáticos mediante el planteamiento y la resolución de situaciones en las cuales dialogan los objetos matemáticos con el mundo real, para ello el profesor induce una problemática o situación problema que involucra el eje temático de la clase y mediante ella se desarrollan los contenidos curriculares.

En conclusión, las concepciones se presentan como un condensado de posturas que un profesor antepone para realizar su intervención en el aula, es así como estas actitudes referentes a la enseñanza y aprendizaje configuran la estructura conceptual y las estrategias como docente (Contreras y Carrillo, 1995). En este sentido, se hace evidente la necesidad de indagar sobre el modelo de formación de profesores situado desde en un componente específico como lo es la RP, y en función de ello, se puede abordar como campo de investigación y no remitirse solamente a una aplicación de conocimientos adquiridos, sin dejar a un lado métodos, algoritmos o los procedimientos rutinarios ratificadores de un dominio conceptual. (Puig citado en Cortés y Sanabria, 2012).

Metodología

Esta investigación tiene un enfoque cualitativo, porque “está orientada a la comprensión, cuyo objetivo es describir e interpretar la realidad educativa desde dentro” (Sabariego, 2009, p. 281); y tiene que ver con la forma cómo los estudiantes comprenden/construyen los conceptos de: límite, derivada, e integral definida, mediante el planteamiento y resolución de problemas y el papel que la RP juega en la enseñanza y aprendizaje en estudiantes de tercer año de Licenciatura de Matemáticas.

Este estudio está sustentado en un método de investigación etnográfico ya que este tipo de investigación es “el más conocido y utilizado en el campo educativo para analizar la práctica docente, describirla desde el punto de vista de las personas que en ella participan y enfatizar las cuestiones descriptivas e interpretativas” Sabariego, M. (2009). Otros la definen como el método investigación por el que se aprende el modo de vida de una unidad social concreta, por ejemplo, un claustro de profesores o una escuela. Para ello se llevan a cabo registros del que hacer del profesor en periodos largos de tiempo a través de la observación en el aula, entrevistas, revisión de materiales, y registros de audio y video; esto permite dar explicaciones de práctica escolar estudiada.

La población está constituida 52 profesores, de los cuales se determinaron dos (2) profesores, ya que estos son lo que orientan las variables de formación (Cálculo Diferencial y Cálculo Integral) en el Programa de la Licenciatura en Matemáticas y constituyen la unidad de análisis para el proceso de investigación. Para el diseño metodológico se tuvieron en cuenta las fases de la investigación etnográfica (Murillo y Martínez, 2010): Selección del diseño; determinación de las técnicas; acceso al ámbito de investigación; selección de los informantes; recogida de datos y la determinación de la duración de la estancia en el escenario; procesamiento de la información recogida; y elaboración del informe. El diseño se sintetiza en las siguientes fases y en el esquema la figura 1: Fase 1.Planeación: Consiste en el planteamiento del problema, formulación de los objetivos, definición del marco teórico, y el diseño metodológico incluidos los instrumentos y las técnicas de análisis. Fase 2. Ejecución: acceso al ámbito de investigación, selección de informantes (profesores y estudiantes) y trabajo de campo. Fase 3. Análisis: hace referencia al procesamiento de la información obtenida a partir de los instrumentos previamente establecidos (diarios de campo, preparadores de clase de los profesores, apuntes de clase de los estudiantes, entrevistas semiestructuradas, y finalmente la observación y el registro de episodios en audio y video) y mediante el método de la triangulación. Fase 4. Informe.

Las técnicas utilizadas en este estudio etnográfico fueron: La observación no participante, diario de campo y entrevista semiestructurada. De acuerdo con la literatura existente se consolidaron las categorías y subcategorías adaptadas de Cortés y Sanabria (2012).

Conclusión

Las concepciones que tienen los profesores sobre la RP tanto en la enseñanza del Cálculo diferencial como integral, están ligadas desde el aspecto teórico a la forma de organizar la enseñanza de un concepto o entidad matemática, es decir, que para ellos la RP es parte fundamental de la transposición didáctica, pero que a la hora de enseñar, este proceso está asociado a las aplicaciones que pueda tener el objeto matemático.

Las prácticas matemáticas que ejerce el profesor universitario sitúan la RP como un proceso que es inherente a la enseñanza y al aprendizaje, que viene despues de haber visto una teoría, un teorema, una demostración, enunciado, axioma o postulado; pero no constituye el punto de partida de una enseñanza problémica de la cual emerge un concepto matemático concreto, asociado a estructuras matemáticas con sentido y significado en contextos de aprendizaje situados.

Las concepciones de los profesores universitarios sobre las matemáticas, las prácticas educativas y la misma resolución de problemas, están ligadas a su formación y experiencia profesional, más que a un proceso consciente de la necesidad de cambiar las formas de considerar las trayectorias que sigue un aprendiz a la hora de acercarse a un objeto matemático del conocimiento; no obstante, las evidencias obtenidas a partir del estudio etnográfico permiten inferir que el docente universitario concibe la matemática como una articulación entre el aprendizaje, el saber y la enseñanza; triada en la cual asume otra concepción sobre la RP como agente de motivación para el aprendizaje.

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Descripción:
Dado que la finalidad de la entrevista gira en torno a conocer el pensamiento del profesor respecto a su modelo de enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral, así como su postura frente al papel de la resolución de problemas, se muestran las tendencias de los docentes en función de dos preguntas conductoras: ¿Cuál es su mejor estrategia para enseñar los conceptos del Cálculo Diferencial e Integral? y ¿Por qué? ¿Qué función cumple la resolución de problemas como estrategia y competencia matemática en los estudiantes?
Tendencia:
¿Cuál es su mejor estrategia para enseñar los conceptos del Cálculo Diferencial e Integral? y ¿Por qué	Los profesores afirman que la mejor estrategia engloba temáticas, desde el momento que se habla de funciones o antiderivación estar recordando que el tema de funciones (CD) – antiderivada (CI) se requiere para lo que viene, efectivamente cuando ve limites (CD) – notación sigma (CI) destaca nuevamente la importancia de las funciones o la antiderivadación pero aclarando que el tema de límites (CD) va a ser el tema fundamental en derivada, porque las derivadas se definen como límites, cuando se está en derivadas entonces afirman “mire la importancia de los limites acá” “mire que las derivadas se le calculan a funciones”. En el caso de la notación sigma (CI) se debe destacar su importancia puesto que permite comprender porque la integral definida es el resultado de tomar el límite de una suma de Riemann. De ahí se plantean problemas de aplicación por ejemplo que se resuelven con derivadas (CD), desplazamiento de partículas, centros de densidad, crecimientos poblacionales que se resuelven con integrales definidas (CI) entonces eso despierta el interés, más allá lo que se hace es recordar que aparte de todas las aplicaciones que tienen, el Cálculo Integral y las Ecuaciones Diferenciales dependen de lo que se haga en cálculo diferencial y cómo se conecta la temática, pues deja ver que no son aisladas y todo está conectado.
¿Qué función cumple la resolución de problemas como estrategia y como competencia matemática en los estudiantes?	Los profesores afirman que lo primero que tiene que hacer un estudiante es conceptualizar, y cuando tiene claro el concepto entonces una forma de verificar es enfrentándose a diferentes tipos de ejercicios y problemas, y hay unos que son problemas porque hay un contexto involucrado, donde hay que obligar al planteamiento de una ecuación, a la deducción o construcción de una ecuación y pues todo eso ayuda a que los conceptos vayan quedando más claros, tiene su momento y si en una de esas el estudiante observa que lo que está estudiando tiene una aplicación, permite resolver un problema de otras ciencias, de otras disciplinas, magnifico, pero pues no pasa de ahí. Es decir, aseveran es importante pero no es lo más importante, es una de las cosas que hay que hacer que se puede implementar y no con todos los temas, en el caso de la licenciatura en matemáticas.